题目

函数Y=ln[x+根号下(x平方+1)],求它的反函数.怎么求?
高数

提问时间：2020-12-28

答案

根据反函数的定义,函数y=f(x)为单调连续函数,则它的反函数x=g(y),它也是单调连续的.
   为此我们可给出反函数的求导法则：
   定理：若x=g(y)是单调连续的,且g(y)不等于0,则它的反函数y=f(x)在点x可导,且有：
   f'(x)=1/g'(y).
   注：通过此定理我们可以发现：反函数的导数等于原函数导数的倒数.
   注：这里的反函数是以y为自变量的,我们没有对它作记号变换.
       即：g'(y)是对y求导,f'(x)是对x求导.
函数y=ln[x+√(x^2+1)]=f(x),求它的反函数.
g'(y)=1/f'(x)=1/{[1+(1/2)2x(x^2+1)^(-1/2)]/[x+√(x^2+1)]}=
=[x+√(x^2+1)]/[1+x/√(x^2+1)]=
=[x√(x^2+1)+(x^2+1)]/[√(x^2+1)+x]=
=√(x^2+1),
g(y)=(x/2)√(x^2+1)（+ -）（1/2）ln[x+√(x^2+1)],(此步是套积分公式）,
反函数写成传统形式：
y=g(x)=(x/2)√(x^2+1)（+ -）（1/2）ln[x+√(x^2+1)]是y=ln[x+√(x^2+1)]=f(x)的反函数.