题目

1.在三角形ABC中,已知（sin²A+sin²B)(acosB-bcosA)=(sin²A-sin²B)(acosB+bcosA)试 判断三角形ABC的形状.
2.某海轮以30海里/小时的速度航行,在点测得海面上油井P在南偏东60°,向北航行40分钟后到达B点,测得油井P在南偏东30°,海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点,求P,C间的距离.
3.甲乙两人围绕一正三角形的游乐场边按顺时针方向等速行走,起初两人在同一边上,相距200公尺,求两人行走的最近距离.

提问时间：2020-12-27

答案

1等腰三角形或者直角三角形.推导过程如下：
由正弦定理可知,原式变为：(sin²A+sin²B)(sinAcosB-sinBcosA)=(sin²A-sin²B)(sinAcosB+sinBcosA),再由sin²A-sin²B=sin(A+B)sin(A-B),则有：
(sin²A+sin²B)sin(A-B)=sin(A+B)sin(A-B)sin(A+B)=sin(A-B)sin²C;
所以,sin(A-B)（sin²A+sin²B-sin²C）=0,则有A=B或sin²A+sin²B-sin²C=0
再由sin²A+sin²B-sin²C=0,根据正弦定理可得a²+b²=c²则此时△ABC为直角三角形,综上可知,△ABC为等腰三角形或直角三角形
2
根据题意作出海伦航行图
∵在A点测的海面上油井P在南偏东60度,
∴∠PAS=60°.
∵海轮以30海里/小时的速度航行,向北航行40分钟后到达B点,
测的油井P在南偏东30度,
∴AB=30*40/60=20(海里）,∠PBA=30°,
∵海轮改为北偏东60度航行80分钟到达C点,
∴∠CBN=60°,BC=30*80/60=40（海里）.
∵∠PAS=60°,∠PBA=30°,
∴∠APB=30°,
∴△ABP是等腰三角形.
∴可求得BP=20√3.
∵∠PBA=30°,∠CBN=60°,
∴∠CBP=90°.
∴△CBP是直角三角形.
∴由勾股定理得 PC²=BC²＋BP²=2800.
故PC之间的距离=20√7海里.
3
当两人到不同边时,设一人到两人之间的三角形顶点的距离为a,则另外一人离 该顶点距离为200－a,并设此时两人之间的 距离为x,由余弦定理有
x^2=a^2+(200-a)^2-2a(200-a)^2 *cos60度,
右边为二次函数,得出当a＝100事,x有极小值,为x＝100
所以最近距离为100
这么多.