题目

等比数列{an}公比为q,前n项和为Sn,且S5,S10,S15成等差数列.
1.求数列{nq^5n}前n项和Tn
2.证明：2S5,S10,S20-S10成等比数列

提问时间：2020-12-27

答案

1.
q=1时,S5=5 S10=10 S15=15
2S10=20 S5+S15=5+15=20 2S10=S5+S15,S5、S10、S15成等差数列,满足题意.
q≠1时,
2S10=S5+S15
2a1(q^10-1)/(q-1)=a1(q^5-1)/(q-1)+a1(q^15-1)/(q-1)
整理,得
2q^10=q^5+q^15
(q^5)^3-2(q^5)^2+q^5=0
q^5(q^5 -1)^2=0
q^5=0(舍去)或q^5=1(舍去)
综上,得q=1
nq^5n=n
Tn=1+2+...+n=n(n+1)/2
2.
2S5=2×5=10 S10=10 S20-S10=10
S10/(2S5)=(S20-S10)/S10=1,为定值.
2S5、S10、S20-S10是公比为1的等比数列.