题目

正方形ABCD中，一条边AB在直线y=x+4上，另外两顶点C、D在抛物线y²=x上，求正方形的面积．

提问时间：2020-12-27

答案

设CD所在直线的方程为y=x+t，
∵

y=x+t y2=x

消去y得，x²+（2t-1）x+t²=0，
∴|CD|=

2[(1-2t)2-4t2]

=

2(1-4t)

，
又直线AB与CD间距离为|AD|=

|t-4|

2

，
∵|AD|=|CD|，∴t=-2或-6；
从而边长为3

2

或5

2

．
面积S₁=（3

2

）²=18，
S₂=（5

2

）²=50．

先设CD的方程，然后与抛物线联立可消去y得到关于x的一元二次方程，即可表示出|CD|，再由|AD|=|CD|可求出t的值，从而可求出正方形的边长得到面积．

本题考点：抛物线的应用；点到直线的距离公式．

考点点评：本题主要考查直线与抛物线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的重点题型，每年必考，要强化复习．