题目

高数中的高斯公式问题
高斯公式中的 aP/ax+aQ/ay+aR/az 中复合函数求导,比如aP/ax是P对x求导并且将y z视为常数,还是在E曲面中根据y z相对x的关系还要将y 和 z对x求导?
按书上的例题和自己做的练习看来貌似是将y z视为常数,但是有如下题目.
计算∯(xdydz+ydzdx+zdxdy)/(x^2+y^2+z^2)^3/2
其中曲面为球面x^2+y^2+z^2=a^2的外侧
如果P=x/(x^2+y^2+z^2)^3/2
那么P对x 求导是 y^2+z^2-2x^2/(x^2+y^2+z^2)^5/2
aP/ax+aQ/ay+aR/az为0
最终结果和答案不符
如果P=x/a^3
求导结果是1/a^3
aP/ax+aQ/ay+aR/az为3/a^3
最终结果和答案一样是4pai
第一种设法是将yz视为常数,第二种是将yz视为和x有关的量.
到底高斯中的公式究竟是怎么求导?

提问时间：2020-12-26

答案

高斯公式应用的前提条件是：函数在体积分域内具有一阶连续偏导数.本题中函数 f(x,y,z)在(0,0,0)点处不可微,不满足高斯公式条件.但在面上积分时,可以考虑消去不可微因素,即在面积分域常数代换,然后再用高斯公式求解.可以了.之前回答错了,不好意思.