题目

高一必修一数学难题（奇偶）已知f（x）在R上是偶函数,在R上是奇函数的g（x）过点（-1.1）,（看补充）
已知f（x）在R上是偶函数,在R上是奇函数的g（x）过点（-1.1）,且g（x）=f（x-1）,则f（2007）+f（2008）为

提问时间：2020-12-24

答案

解由g（x）是奇函数,
故g（-x）=-g（x）.(1)
由g（x）=f（x-1）
则g（-x）=f（-x-1）
由（1）得
f（-x-1）=-f（x-1）.(2)
由f（x)是偶函数,
f（-x-1）=f（-（x+1））=f（x+1）..(3)
由(2)和（3）得
f（x+1）=-f（x-1）
即f（x+2）=-f（x）
故f（x+4）=f（x+2+2）
=-f（x+2）
=-[-f（x）]
=f（x）
故f（x）的周期T=4
故f（2007）=f（3）
f（2008）=f（0）
即f（2007）+f（2008）
=f（3）+f（0）
=f（-1）+f（0）
由在R上是奇函数的g（x）过点（-1.1）,
知g（-1）=1且g（0）=0
即g（1）=-1且g（0）=0
在g（x）=f（x-1）
令x=1
即g（1）=f（1-1）=f（0）=-1
再令x=0
即g（0）=f（0-1）=f（-1）=0
故
f（2007）+f（2008）
=f（3）+f（0）
=f（-1）+f（0）
=0+（-1）
=-1