题目

已知数列{a_n}满足

a1＝1 an＝2an−1+1，n≥2

，求{a_n}的通项公式及其前n项和S_n．

提问时间：2020-12-23

答案

∵当n≥2时，a_n=2a_n-1+1，∴a_n+1=2（a_n-1+1）

an+1

an−1+1

=2，∴数列{a_n+1}为等比数列，且公比为2，
又∵a₁=1，∴a₁+1=2
∴a_n+1=2ⁿ，a_n=2ⁿ-1
S_n=2¹-1+2²-1+…+2ⁿ-1=

2(1−2n)

1−2

-n=2ⁿ⁺¹-2-n

根据数列的递推公式，利用构造法构造新数列满足为等比数列，求出新数列的通项公式，再求数列{a_n}的通项公式．
在分组求数列{a_n}的前n项和S_n．

本题考点：数列递推式；数列的求和．

考点点评：本题主要考查了构造法求数列的通项公式，以及分组求和．