题目

1.a、b是整数,二元一次方程x^2+ax+b=0有一根为√（7-4√3）,求a+b.
2.已知X=√(19-8√3),求(x^4-6x^3-2x^2+18x+23)/x^2-8x+15的值.
3.已知x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0,求x+1/x的值
老头老太111：第一题为什么x1=x2？

提问时间：2020-12-23

答案

解（1）
因为 二元一次方程x^2+ax+b=0有一根为√（7-4√3）,
所以有 X1=X2=√（7-4√3）=√(2-√3)^2=(2-√3)
根据韦达定理有 –a= X1+X2=4-2√3,b= X1×X2=7-4√3
所以 a+b=-4+2√3+7-4√3=3-2√3
（2）因为 X=√(19-8√3)= X=√(4-√3)^2=4-√3,
所以 x^2-8x+15=(X-3)(X-5)=(1-√3)(-1-√3)=2
x^4-6x^3-2x^2+18x+23= x^2(x^2-8x+15)+2X(x^2-8x+15)-( x^2-8x+15)
-20X+38=2X^2+4X-2-20X+38=2X^2-16X+36=2(x^2-8x+15)+6=10
即 (x^4-6x^3-2x^2+18x+23)/（x^2-8x+15）=10/2=5
(3) x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0
方程两边同时除以X^2 得 X^2-5X+X-5/X+1/X^2=0
即 (X+1/X)^2-5(X+1/X)+6=0
因式分解 得 (X+1/X-2) (X+1/X-3) =0
得 X+1/X=2 或X+1/X=3
注：你也可以设X+1/X=Y,同样可求