题目

方程确定的隐函数求导时,分母需要考虑为0吗?为什么?例如：z=z((x,y)是由2x^2+2y^2+z^2+8xz-z+8=0确定
即是说：z对x求偏导为-(4x+8z)/2z+8x-1,其中2z+8x-1会等于0吗?

提问时间：2020-12-23

答案

不等于0
我就做一遍吧,两端求导
4x+2zz'+8z+8xz'-z'=0
z'(2z+8x-1)+4x+8z=0
若2z+8x-1=0
此时z'无意义,即不存在
若2z+8x-1=0,与原方程联立,得到一个点系（两个三元方程联立的解是一般一条曲线）
（注意,不是和4x+8z=0联立,因为当2z+8x-1=0了,本身对方程两边求导就没有意义,因此4x+8z=0没有意义,与2z+8x-1=0无关.）
也就是当2z+8x-1=0时,在这些点系上,函数没有偏导数.
因此对于偏导数而言,2z+8x-1≠0