题目
a>0,函数f(x)=ax-bx2,(1)当b>0时,对任意x∈R都有f(x)≤1,证明a≤2√b
(2)当b>1时,证明:对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是
b-1≤a≤2√b
(2)当b>1时,证明:对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是
b-1≤a≤2√b
提问时间:2020-12-22
答案
f(x)=ax-bx^2=-b(x-a/2b)^2+a^2/4b,函数过点(0,0),对称轴x=a/2b
(1)当b>0时,抛物线开口向下,若对任意x∈R都有f(x)≤1,那么最高点a^2/4b≤1,a^2≤4b,由于a>0,b>0,所以a≤2√b,得证
(2)当b>1时,对于x∈[0,1]会出现两种情况:①对称轴x=a/2b≥1,即在[0,1]上抛物线是单调增函数,x=1时有最大值a-b.由a/2b≥1可得a≥2b,那么a-b≥2b-b=b>1,不符合|f(x)|≤1,所以这种情况不在考虑之内;②对称轴x=a/2b<1,由于a>0,b>1,所以对称轴在[0,1]内,那么如果要求|f(x)|≤1,最高点a^2/4b≤1,解得a≤2√b.这时要考虑当x=1时的情况,如果当x=1时,f(1)<0,那么还要保证f(1)≥-1,即a-b≥-1,a≥b-1.综合得到b-1≤a≤2√b.反过来当b-1≤a≤2√b时也一定能保证|f(x)|≤1(倒过来证一下即可),所以对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2√b
(1)当b>0时,抛物线开口向下,若对任意x∈R都有f(x)≤1,那么最高点a^2/4b≤1,a^2≤4b,由于a>0,b>0,所以a≤2√b,得证
(2)当b>1时,对于x∈[0,1]会出现两种情况:①对称轴x=a/2b≥1,即在[0,1]上抛物线是单调增函数,x=1时有最大值a-b.由a/2b≥1可得a≥2b,那么a-b≥2b-b=b>1,不符合|f(x)|≤1,所以这种情况不在考虑之内;②对称轴x=a/2b<1,由于a>0,b>1,所以对称轴在[0,1]内,那么如果要求|f(x)|≤1,最高点a^2/4b≤1,解得a≤2√b.这时要考虑当x=1时的情况,如果当x=1时,f(1)<0,那么还要保证f(1)≥-1,即a-b≥-1,a≥b-1.综合得到b-1≤a≤2√b.反过来当b-1≤a≤2√b时也一定能保证|f(x)|≤1(倒过来证一下即可),所以对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2√b
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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