题目

已知抛物线y=ax²+bx+c通过点（1，1），且在点（2，-1）处与直线y=x-3相切，求a、b、c的值．

提问时间：2020-12-21

答案

∵f（1）=1，∴a+b+c=1．
又f′（x）=2ax+b，
∵f′（2）=1，∴4a+b=1．
又切点（2，-1），∴4a+2b+c=-1．
把①②③联立得方程组

a+b+c＝1 4a+b＝1 4a+2b+c＝−1.

解得

a＝3 b＝−11 c＝9

即a=3，b=-11，c=9．

先求函数y=ax²+bx+c的导函数f′（x），再由题意知函数过点（1，1），（2，-1），且在点（2，-1）处的切线的斜率为1，即f′（2）=1，分别将三个条件代入函数及导函数，解方程即可

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的简单性质．

考点点评：本题考察了导数的几何意义及其应用，利用方程的思想求参数的值