题目

设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．

提问时间：2020-12-18

答案

（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a-sinx，x∈[0，π]，sinx∈[0，1]；
当a≤0时，f'（x）≤0恒成立，f（x）单调递减；当a≥1 时，f'（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；
当0＜a＜1时，由f'（x）=0得x₁=arcsina，x₂=π-arcsina
当x∈[0，x₁]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增
当x∈[x₁，x₂]时，sinx＞a，f'（x）＜0，f（x）单调递减
当x∈[x₂，π]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增
当x∈[0，arcsina]时，单调递增，当x∈[arcsina，π]时，单调递减；
（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ-1≤1，∴a≤

2

π

．
令g（x）=sinx-

2

π

x（0≤x≤

π

2

），则g′（x）=cosx-

2

π

当x∈(0，arccos

2

π

)时，g′（x）＞0，当x∈(arccos

2

π

，

π

2

)时，g′（x）＜0
∵g(0)＝g(

π

2

)＝0，∴g（x）≥0，即

2

π

x≤sinx（0≤x≤

π

2

），
当a≤

2

π

时，有f(x)≤

2

π

x+cosx
①当0≤x≤

π

2

时，

2

π

x≤sinx，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx；
②当

π

2

≤x≤π时，f(x)≤

2

π

x+cosx=1+

2

π

(x−

π

2

)−sin(x−

π

2

)≤1+sinx
综上，a≤

2

π

．

（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a-sinx，x∈[0．π]，sinx∈[0，1]，对a进行分类讨论，即可确定函数的单调区间；
（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ-1≤1，可得a≤

2

π

，构造函数g（x）=sinx-

2

π

x（0≤x≤

π

2

），可得g（x）≥0（0≤x≤

π

2

），再考虑：①0≤x≤

π

2

；②

π

2

≤x≤π，即可得到结论．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性．