题目

已知f(1)=0,af(n)=bf(n-1)-1,n大于等于2,a〉0,b〉0,求f(n)的表达式

提问时间：2020-12-17

答案

af(n)=bf(n-1)-1,……………（1）
则af(n-1)=bf(n-2)-1,…………（2）
则用（1）－（2）得
a[f(n)-f(n-1)]=b[f(n-1)-f(n-2)]
所以[f(n)-f(n-1)]/[f(n-1)-f(n-2)]=b/a
所以数列{f(n)-f(n-1)}是公比为b/a的等比数列,
又f(2)=bf(1)-1=-1
所以f(n)-f(n-1)=[f(2)-f(1)]*(b/a)^(n-1)=-(b/a)^(n-1),n大于等于2
即f(n)=f(n-1)-(b/a)^(n-1)=[af(n)+1]/b-(b/a)^(n-1)
所以f(n)=[a^(n-1)-b^n]/{[a^(n-1)]*(b-a)},n大于等于2
则此时当n=1时,由f(n)得,f(n)=(1-b)/(b-a)不等于1
所以f(n)的表达式为
当n=1时,f(n)=1;
当n>1时,f(n)=[a^(n-1)-b^n]/{[a^(n-1)]*(b-a)}