题目
已知数列{an}的前n项和为Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)(n∈N*).
(Ⅰ)求证数列{an}是等比数列,并求an;
(Ⅱ)已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x},问是否存在实数a,使得对于任意的n∈N*都有Sn∈A?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
(Ⅰ)求证数列{an}是等比数列,并求an;
(Ⅱ)已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x},问是否存在实数a,使得对于任意的n∈N*都有Sn∈A?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
提问时间:2020-12-15
答案
(Ⅰ)当n=1时,∵(a-1)S1=a(a1-1),∴a1=a(a>0)(1分)
n≥2时,由(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)
得(a-1)Sn-1=a(an-1-1)
∴(a-1)an=a(an-an-1),变形得:
=a(n≥2)(4分)
故{an}是以a1=a为首项,公比为a的等比数列,∴an=an(6分)
(Ⅱ)(1)当a=1时,A={1},Sn=n,只有n=1时Sn∈A,
∴a=1不适合题意(7分)
(2)a>1时,A={x|1≤x≤a},S2=a+a2>a,∴S2∉A,
即当a>1时,不存在满足条件的实数a(9分)
(3)当0<a<1时,A={x|a≤x≤1}
而Sn=a+a2+…an=
(1−an)∈[a,
)
因此对任意的n∈N*,要使Sn∈A,
只需0<a<1,
≤1解得0<a≤
(11分)
综上得实数a的范围是(0,
].(12分)
n≥2时,由(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)
得(a-1)Sn-1=a(an-1-1)
∴(a-1)an=a(an-an-1),变形得:
an |
an−1 |
故{an}是以a1=a为首项,公比为a的等比数列,∴an=an(6分)
(Ⅱ)(1)当a=1时,A={1},Sn=n,只有n=1时Sn∈A,
∴a=1不适合题意(7分)
(2)a>1时,A={x|1≤x≤a},S2=a+a2>a,∴S2∉A,
即当a>1时,不存在满足条件的实数a(9分)
(3)当0<a<1时,A={x|a≤x≤1}
而Sn=a+a2+…an=
a |
1−a |
a |
1−a |
因此对任意的n∈N*,要使Sn∈A,
只需0<a<1,
a |
1−a |
1 |
2 |
综上得实数a的范围是(0,
1 |
2 |
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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