题目
设a,b,c是三角形ABC的边长,对任意实数x,f(x)=b2x2+(b2+c2-a2)x+c2有( )
A. f(x)=0
B. f(x)>0
C. f(x)≥0
D. f(x)<0
A. f(x)=0
B. f(x)>0
C. f(x)≥0
D. f(x)<0
提问时间:2020-12-14
答案
在△ABC中,根据余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,
∴b2+c2-a2=2bccosA,
因此函数可化为:f(x)=b2x2+(2bccosA)x+c2,
∵
,
∴函数y=f(x)的图象是开口向上的抛物线,且与x轴没有公共点.
由此可得:对任意实数x,f(x)>0恒成立.
故选:B
∴b2+c2-a2=2bccosA,
因此函数可化为:f(x)=b2x2+(2bccosA)x+c2,
∵
|
∴函数y=f(x)的图象是开口向上的抛物线,且与x轴没有公共点.
由此可得:对任意实数x,f(x)>0恒成立.
故选:B
根据余弦定理a2=b2+c2-2bccosA的式子,将函数化简为f(x)=b2x2+(2bccosA)x+c2,再根据二次函数的图象与性质加以计算,可得函数图象对应的抛物线开口向上且与x轴没有公共点,可得本题的答案.
余弦定理;二次函数的性质.
本题给出与△ABC的三边a、b、c有关的二次函数,研究函数值的取值范围.着重考查了二次函数的图象与性质、余弦定理及其应用等知识,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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