题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，2），且与x轴的正半轴相交于点A，点P、点Q在线段AB上，点M、N在线段AO上，且△OPM与△QMN是相似比为3：1的两个等腰直角三角形，∠OPM=∠MQN=90°．试求：
（1）AN：AM的值；
（2）一次函数y=kx+b的图象表达式．

提问时间：2020-12-11

答案

过P、Q两点作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
设DQ=a，依题意，得OC=PC=3a，OD=7a，
又∵而直线y=kx+b的图象经过点B（0，2），
∴b=2，
将P（3a，3a），Q（7a，a）代入y=kx+2中，得

3ak+2＝3a 7ak+2＝a

，
解得

a＝ 4 9 k＝− 1 2

，
∴直线AB解析式为y=-

1

2

x+2，可知A（4，0），
（1）AN=OA-ON=4-8a=

4

9

，AM=OA-OM=4-6a=

4

3

，AN：AM=

4

9

：

4

3

=1：3；
（2）直线AB解析式为y=-

1

2

x+2．

过P、Q两点作x轴的垂线，垂足分别为C、D，设DQ=a，由△OPM与△QMN是相似比为3：1的两个等腰直角三角形，可知OC=PC=3a，OD=7a，而直线y=kx+b的图象经过点B（0，2），得b=2，将P（3a，3a），Q（7a，a）代入求a、k的值，解答（1）（2）的问题．

本题考点：一次函数综合题．

考点点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据两个等腰直角三角形相似的条件及相似比，设P、Q两点坐标求直线解析式．