题目

运筹学里基变量和人工变量关系什么关系啊?怎么在单纯形里区分?

提问时间：2020-12-09

答案

不严格地说,一个LP问题有几个约束就有几个基变量.基变量是时时刻刻在变的,也就是说,每使用一次单纯形法进行一次迭代,基变量就会产生变动.
在单纯性法里,如果画单纯形表,在表最左列的n个变量就是基变量.
至于人工变量,举个例子进行说明：
求：
min z = -3x1 + x2 +x3
s.t.
x1 - 2x2 + x3 ≤ 11 ①
-4x1 + x2 + 2x3 ≥ 3 ②
-2x1 + x3 = 1 ③
x1,x2,x3 ≥ 0
将上述问题转化为标准的LP问题
①式为“≤类型”,加上松弛变量x4变为等式；
②式为“≥类型”,需要减去一个剩余变量x5加上一个人工变量x6；
此时,为了方便选取初始基变量,我们在③式中加入人工变量x7；
若使用大M法,原问题变为：
求：
min z = -3x1 + x2 +x3 + 0x4 + 0x5 + Mx6 + Mx7
s.t.
x1 - 2x2 + x3 + x4 = 11 ①
-4x1 + x2 + 2x3 -x5 + x6 = 3 ②
-2x1 + x3 + x7 = 1 ③
x1,x2,x3 ≥ 0
也就是说,人工变量是为了将一个LP问题转化为标准型用的.应注意和剩余变量、松弛变量区分.在单纯形法中,使用大M法,系数为M的变量为人工变量；使用两阶段法,第一阶段所求值涉及变量为人工变量.
具体的运筹学书上解释的比较详细,哪个地方又不懂的,可以在单纯形法、大M法、两阶段法的相关章节中找到详细解释.