题目

高中数学——解析几何-直线
已知点P（6,4）和直线l1:y=4x,求过点P的直线l,使它和l1以及x轴在第一象限内围成的三角形面积最小.
直线l过点p(-2,1)且斜率为k（k>1）将直线l绕点P按逆时针方向旋转45°得到直线m,若直线l和m分别交于x轴Q,R,当k为何值时,△PQR面积最小,求直线l的方程.

提问时间：2020-12-08

答案

1.设Q点坐标为(q,4q);则直线PQ方程为
y-4=(4q-4)(x-6)/(q-6),
令y=0,得到
-4=(4q-4)(x-6)/(q-6),
-1=（q-1)(x-6)/(q-6);
x=6-(q-6)/(q-1)=5q/(q-1);
此即为它于X轴的焦点的横坐标；
所以所围三角形的底长5q/(q-1),高为4q;
面积为20q^2/[2(q-1)]=10q^2/(q-1)
只需要知道f(q)=q^2/(q-1)当何时取最小,对f(q)求导数得到
f'(q)=(2q(q-1)-q^2)/(q-1)^2
=(q^2-2q)/(q-1)^2
令f'(q)=0得到 q=2或0(舍去,因为此时Q为原点,不能围成三角形）
所以q=2,Q=（2,8）
2.设L：y=kx+2k+1 k=tanθ
直线M的斜率为
m=tan（θ+π/4)=（tanθ+tanπ/4)/(1-tanθ*tanπ/4)=(k+1)/(1-k)
直线M为y=(k+1)x/(1-k))+(k+3)/(1-k)
所以Q(0,2k+1);R(0,(k+3)/(1-k)) .
PQ=2k+1-(k+3)/(1-k)=(2k^2+2)/(k-1)
三角形PQR面积为【高为p到y轴距离】
S=1/2*(2k^2+2)/(k-1)*2
=(2k^2+2)/(k-1)
=2[(k-1)^2+2(k-1)+2]/(k-1)
=2[k-1+2+2/(k-1)]
用均值定理,当且仅当k-1=2/(k-1)时,S取最小值,k=1±√2,
因为k>1,所以k=1+√2
直线L的方程：y=(1+√2)x+3+2√2