题目

各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₂-a₁=1．当a₃取最小值时，数列{a_n}的通项公式a_n=______．

提问时间：2020-12-08

答案

设等比数列的公比为q（q＞0），由a₂-a₁=1，得a₁（q-1）=1，
所以a1＝

1

q−1

．
a3＝a1q2＝

q2

q−1

=

1

− 1 q2 + 1 q

（q＞0），
而−

1

q2

+

1

q

＝−(

1

q

−

1

2

)2+

1

4

，当q=2时有最大值

1

4

，
所以当q=2时a₃有最小值4．
此时a1＝

1

q−1

＝

1

2−1

＝1．
所以数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1．
故答案为2^n-1．