题目

证明矩阵可逆
现在有矩阵A构造矩阵N,它的列构成NulA的基,（Nul A 为矩阵A的化零空间,也就是Ax=0的解空间）构造矩阵R,它的行构成RowA的基.（Row A为矩阵A的行空间）证明S=(RT,N)可逆RT表示R的转置.

提问时间：2020-12-06

答案

首先这里的矩阵需要是实矩阵,否则有反例.
例如取二阶复矩阵A = [1,-i;i,1],则S可以为[1,1;-i,-i],易见S不可逆.
用B'表示B的转置,对于实矩阵可以证明如下.
设A是n阶矩阵,可知Nul A的维数为n-r(A),故N是n×(n-r(A))矩阵.
又可知row A的维数为r(A),故R是r(A)×n矩阵.
因此S = [R',N]是n阶方阵.
由N的选取,有AN = 0,进而有RN = 0.
可算得S'S具有分块形式[RR',RN;N'R',N'N] = [RR',RN;(RN)',N'N] = [RR',0;0,N'N].
于是r(S) = r(S'S) = r(RR')+r(N'N) = r(R)+r(N) (对实任意矩阵B,有r(BB') = r(B'B) = r(B) (*)).
由r(N) = n-r(A),r(R) = r(A)即得r(S) = n,故S为满秩n阶方阵,即n阶可逆矩阵.
注1:如果学了内积空间,可以比较简单的理解这个结果.
AN = 0表明A'的列向量与N的列向量彼此正交,即Row A的转置与Nul A是互相正交的两个子空间.
又二者维数互补,故它们各自的一组基可以拼成全空间的一组基.
于是S的列向量是全空间的一组基,S满秩即可逆.
注2:关于结论(*),这是一个常见题目,可通过BX = 0与B'BX = 0同解来证明.
其中实矩阵的条件不能去掉,这直接导致本题也需要实矩阵的条件.