题目

在有理数域上分解因式x^18+x^15+x^12+x^9+x^6+x^3+1

提问时间：2020-12-01

答案

【不好意思,题目太难让我想了很久】
储备知识：
x^n-y^n=(x-y)【x^(n-1)+x^(n-2)y+x^(n-3)y²+……+x²y^(n-3)+xy^(n-2)+y^(n-1)】
比如 x³-1=(x-1)(x²+x+1)
x^7-1=(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x²+x+1)
x^18+x^15+x^12+x^9+x^6+x³+1
可看作是 (x³)^6+(x³)^5+(x³)^4+(x³)³+(x)²+x³+1
故可乘一个 x³-1再除以一个x³-1
原式
=(x³-1) 【(x³)^6+(x³)^5+(x³)^4+(x³)³+(x)²+x³+1】÷(x³-1)
=【(x³)^7-1】/(x³-1)
=【(x^7)³-1】/(x³-1)
=(x^7-1)【(x^7)²+x^7+1】/【(x-1)(x²+x+1)】
=【(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x²+x+1) (x^14+x^7+1)】/【(x-1)(x²+x+1)】
=【(x^6+x^5+x^4+x^3+x²+x+1) (x^14+x^7+1)】/(x²+x+1)
观察得 (x^6+x^5+x^4+x^3+x²+x+1) 不能整除 (x²+x+1),
故猜测 (x^14+x^7+1) 能整除 (x²+x+1)
x^14+x^7+1
=x^14+x^13+x^12 -x^13-x^12-x^11 +x^11+x^10+x^9 -x^10-x^9-x^8 +x^8+x^7+x^6 -x^6-x^5-x^4 +x^5+x^4+x³ -x³-x²-x +x²+x+1
=x^12(x²+x+1) -x^11(x²+x+1) + x^9(x²+x+1) - x^8(x²+x+1) + x^6(x²+x+1) - x^4(x²+x+1)
+x³(x²+x+1) -x(x²+x+1) + (x²+x+1)
=(x^12-x^11+x^9-x^8+x^6-x^4+x³-x+1) (x²+x+1)
所以原式
=【(x^6+x^5+x^4+x^3+x²+x+1)•(x^12-x^11+x^9-x^8+x^6-x^4+x³-x+1) (x²+x+1)】/ (x²+x+1)
=(x^6+x^5+x^4+x^3+x²+x+1)(x^12-x^11+x^9-x^8+x^6-x^4+x³-x+1)
【个人认为无法再分解】