题目

在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c且b²+c²=bc+a²
（1）求∠A；
（2）若a＝

3

，求b²+c²的取值范围．

提问时间：2020-12-01

答案

（1）由余弦定理知：
cosA=

b2+c2−a2

2bc

=

1

2

，又A∈（0，π）
∴∠A=

π

3

（2）由正弦定理得：

a

sinA

＝

b

sinB

＝

c

sinC

＝2
∴b=2sinB，c=2sinC
∴b²+c²=4（sin²B+sin²C）=2（1-cos2B+1-cos2C）
=4-2cos2B-2cos2（

2π

3

-B）
=4-2cos2B-2cos（

4π

3

-2B）
=4-2cos2B-2（-

1

2

cos2B-

3

2

sin2B）
=4-cos2B+

3

sin2B
=4+2sin（2B-

π

6

），
又∵0＜∠B＜

2π

3

，∴−

π

6

＜2B-

π

6

＜

7π

6

∴-1＜2sin（2B-

π

6

）≤2
∴3＜b²+c²≤6．

（1）由余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入即可求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）由a和sinA的值，根据正弦定理表示出b和c，代入所求的式子中，利用二倍角的余弦函数公式及两角差的余弦函数公式化简，去括号合并后再利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据角度的范围求出正弦函数的值域，进而得到所求式子的范围．

本题考点：解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用．

考点点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用两角和与差的正弦、余弦函数公式及二倍角的余弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题．