题目

高一年级用二分法求方程的近似解
(1)方程2x^3-6x^2+3=0有几个解?如果有解,全部解的和为多少? (2)探究方程2x^3-6x^2+5=0,2x^3-6x^2+8=0的全部解的和,你由此可以得出什么结论

提问时间：2020-11-30

答案

真的用二分法?那样的话用笔算算计算量很大很大啊!一般都用计算机来实现这样的算法的...设三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的三个根为x1,x2,x3 则方程可以写为a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0 展开得到ax^3-a(x1+x2+x3)x^2+a(x1x2+x2x3+x1x3)x-ax1x2x3=0 比较系数得到-a(x1+x2+x3)=b 所以x1+x2+x3=-b/a (1)因为是3次方程,当然是3个根 2x^3-6x^2+8 =2x^3+2x^2-8x^2+8x-8x+8 =(x+1)*(2x^2-8x+8) 一个根为-1,另外两个根的和=8/2=4 所以三个根的和=-1+4=3 (2)这个不能分解因式了 只能假设分解后是2(x-a)(x-b)(x-c)=0 展开得到2x^3-2(a+b+c)x^2+2(ab+bc+ac)x-2abc=0 比较系数得到-2(a+b+c)=-6 a+b+c=3 结论是3次方程的根与系数也有一个韦达定理(可以推广到更多维) 设x1,x2…,xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解.则有：An(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0 所以：An(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=∑AiX^i （在打开(x-x1)(x-x2)…(x-xn)时最好用乘法原理） 通过系数对比可得：A（n-1）=-An(∑xi) A（n-2）=An(∑xixj) … A0==(-1)^n*An*ΠXi 所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) ∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n) … ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n) 其中∑是求和,Π是求积.