题目

求y=arctanx+arctan(1-x)/(1+x)的值域.
有一个答案是π/4,另一个答案是-3π/4.请问：-3π/4是怎么来的?

提问时间：2020-11-29

答案

令m=arctanx,n=arctan(1-x)/(1+x)
那么x=tanm,(1-x)/(1+x)=tann,y=m+n
那么tany=tan(m+n)
=(tanm+tann)/(1-tanntanm)
=[x(1+x)+(1-x)]/[(1+x)-x(1-x)]
=(x²+1)/(x²+1)
=1
而m=arctanx∈(-π/2,π/2),n=arctan(1-x)/(1+x)∈(-π/2,π/2)
那么m+n∈∈(-π,π)
而tany=tan(m+n)=1
所以m+n=π/4,或m+n=-3π/4
即y=π/4,或y=-3π/4
即值域为{π/4,-3π/4}