题目

如图,正方形ABCD中,点O为对角线AC的中点,点P为正方形ABCD外一点,且BP⊥CP.
如图,正方形ABCD中,点O为对角线AC的中点,点P为正方形ABCD外一点,且BP⊥CP
（1）：求证：BP+CP=根号2OP
（2):档P在正方形内部时,问BP、CP、OP三者之间又存在怎样的关系?请证明.
PS：共圆的不用费力气复制了,没学共圆.不用共圆有办法么?

提问时间：2020-11-28

答案

（1）证明：作DE垂直PC延长线于E,连接OD,OE
则有△BPC≌△CED,所以∠PCB=∠EDC,PC=ED
又∠PCO=∠PCB+∠BCO=∠EDC+∠CDO=∠EDO,CO=DO
所以△PCO≌△EDO,所以PO=EO,∠POC=∠EOD
所以∠POE=∠POC+∠COE=∠COE+∠EOD=90°
所以△POE为等腰直角三角形,
所以BP+CP=CE+PC=PE=根号2OP
（2）结论为：CP-BP=根号2OP
证明：作DE垂直PC于E连接OD,OE
则有△BPC≌△CED,所以∠PCB=∠EDC,PC=ED
又∠PCO=∠BCO-∠PCB=∠CDO=∠EDC-∠EDO,CO=DO
所以△PCO≌△EDO,所以PO=EO,∠POC=∠EOD
所以∠POE=∠POC-∠COE=∠EOD-∠COE=90°
所以△POE为等腰直角三角形,
所以CP-BP=CP-CE=PE=根号2OP