题目

如图,已知抛物线y=ax2-2ax-b(a>0)与x轴的一个交点为B(-1,0),与y轴的负半轴交于点C
如图,已知抛物线y=ax2-2ax-b（a＞0）与x轴的一个交点为B（-1,0）,与y轴的负半轴交于点C,顶点为D．
（1）直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与x轴的另一个交点A的坐标；
（2）以AD为直径的圆经过点C．
①求抛物线的解析式；
②点E在抛物线的对称轴上,点F在抛物线上,且以B,A,F,E四点为顶点的四边形为平行四边形,求点F的坐标．

提问时间：2020-11-27

答案

：①根据抛物线的对称轴为-2a/b
可得抛物线y=ax的平方-2ax-b (a>0)的对称轴为x=1
因为抛物线与x轴的一个交点为B(-1,0)
根据对称性可得A的坐标为（3,0）
②将A、B两点的坐标代入y=ax的平方-2ax-b 中,可得：b=3a
当x=0时,y=-b,即C（0,-3a）.当x=1时,y=-a-b,即D（1,-4a）
根据A（3,0）,D（1,-4a）可得圆心O坐标为（2,-2a）
因为以AD为直径的圆经过点C,所以AD=2OC,根据两点间的距离公式可得
根号下（3-1）²+（0+4a）²=2*根号下（2-0）²+（-2a+3a）²
解之得：a=1或-1,因为a＞0,所以a=1,b=3
所以抛物线的解析式为：y=x²-2x-3
D点坐标为（1,-4）,C点坐标为（0,-3）
因为以B,A,F,E四点为顶点的四边形为平行四边形
所以EF‖AB且EF=AB=4,即（F的横坐标-1）的绝对值=4
那么F点的横坐标为-3或5
代入抛物线的解析式中可得F点的纵坐标均为12
所以F点的坐标为（-3,12）或（5,12）