题目

关于数列的题目
正项数列{an}满足a1=1,Sn为其前n相的和,且4Sn=(an+1)^2 （n大于等于1）
求{an}的通项公式
bn=an（1/2）^n,求其前n相和Tn

提问时间：2020-11-26

答案

4Sn=(an+1)^2
4S(n-1)=(a(n-1)+1)^2
[注：S和a后面的括号中为下脚标]
4an＝4Sn-4S(n-1)= (an+1)^2 -(a(n-1)+1)^2
所以：(an-1)^2＝(a(n-1)+1)^2
an-1＝±(a(n-1)+1)
由于为{an}为正项数列,所以an-1＝a(n-1)+1
an-a(n-1)＝2
为等差数列,公差为2
an=1+2(n-1)＝2n-1
bn=(2n-1)*(1/2)^n
Tn=1*(1/2)^1+3*(1/2)^2+5*(1/2)^3+……+(2n-3)*(1/2)^(n-1)+(2n-1)*(1/2)^n
Tn/2＝1*(1/2)^2+3*(1/2)^3+5*(1/2)^4+……+(2n-3)*(1/2)^n+(2n-1)*(1/2)^(n+1)
两式相减：
Tn/2
＝1/2+2*[(1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4+……+(1/2)^n]-(2n-1)*(1/2)^(n+1)
＝3/2-(1/2)^(n-1)-(2n-1)*(1/2)^(n+1)
＝3/2-(2n+3)*(1/2)^(n+1)
Tn=3-(2n+3)*(1/2)^n