题目

已知x=1是函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．
（Ⅰ）求m与n的关系表达式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．

提问时间：2020-11-25

答案

（Ⅰ）f′（x）=3mx2-6（m+1）x+n．因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0．所以n=3m+6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3mx2-6（m+1）x+3m+6=3m（x-1）[x-（1+2m）]当m＜0时，有1＞1+2m，当x变...

（Ⅰ）求出f′（x），因为x=1是函数的极值点，所以得到f'（1）=0求出m与n的关系式；
（Ⅱ）令f′（x）=0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；
（Ⅲ）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f′（x）＞3m代入得到不等式即3m（x-1）[x-（1+

2

m

）]＞3m，又因为m＜0，分x=1和x≠1，当x≠1时g（t）=t-

1

t

，求出g（t）的最小值．要使

2

m

＜（x-1）-

1

x-1

恒成立即要g（t）的最小值＞

2

m

，解出不等式的解集求出m的范围．

本题考点：A:利用导数研究函数的极值 B:函数恒成立问题 C:利用导数研究函数的单调性

考点点评：考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，利用导数研究函数极值和单调性的能力，以及掌握不等式恒成立的条件．