题目
试证:坐标平面内的三点A,B,C共线的充要条件试存在三个均不为零的实数l,m,n,使lOA+mOB+nOC=0,且l+m+n=0
(一)充分性
∵l+m+n=0
∴l=-m-n
∴lOA+mOB+nOC=(-m-n)OA+mOB+nOC
=m(OB-OA)+n(OC-OA)=mAB+nAC=0
得AB=(-n/m)AC
∴ 三点A,B,C共线
二.(必要性)
∵三点A,B,C共线
∴存在两个均不为0的实数m,n使得
AB=(-n/m)AC
即mAB+nAC=0
得m(OB-OA)+n(OC-OA)=0
(-m-n)OA+mOB+nOC=0
令l=-m-n
得lOA+mOB+nOC=0
所以坐标平面内的三点A,B,C共线的充要条件是存在三个均不为0的实数l,m,n,使lOA+mOB+nOC=0,(OA,OB,OC均为向量,l,m,n和向量是乘的关系)且l+m+n=0.
疑问:充分性和必要性是什么,为什么要先证充分性
(一)充分性
∵l+m+n=0
∴l=-m-n
∴lOA+mOB+nOC=(-m-n)OA+mOB+nOC
=m(OB-OA)+n(OC-OA)=mAB+nAC=0
得AB=(-n/m)AC
∴ 三点A,B,C共线
二.(必要性)
∵三点A,B,C共线
∴存在两个均不为0的实数m,n使得
AB=(-n/m)AC
即mAB+nAC=0
得m(OB-OA)+n(OC-OA)=0
(-m-n)OA+mOB+nOC=0
令l=-m-n
得lOA+mOB+nOC=0
所以坐标平面内的三点A,B,C共线的充要条件是存在三个均不为0的实数l,m,n,使lOA+mOB+nOC=0,(OA,OB,OC均为向量,l,m,n和向量是乘的关系)且l+m+n=0.
疑问:充分性和必要性是什么,为什么要先证充分性
提问时间:2020-11-23
答案
充分性指条件能得出结论;必要性指结论能推出条件.
命题1 的充分条件是 命题2,意思是 命题2 能推出 命题1.必要性相反.
这题当中充分性指:存在三个l m n,…… => A B C共线
必要性指:A B C共线 => 存在三个l m n,……
至于先证哪一个是无关紧要的,反正两个方向都要证明.(几乎所有的考试题目都是一个方向好证明,另一个方向不好证明,考试的时候要注意两个方向都尝试一下,把容易的写出来,这样可以拿近一半的分数.)
命题1 的充分条件是 命题2,意思是 命题2 能推出 命题1.必要性相反.
这题当中充分性指:存在三个l m n,…… => A B C共线
必要性指:A B C共线 => 存在三个l m n,……
至于先证哪一个是无关紧要的,反正两个方向都要证明.(几乎所有的考试题目都是一个方向好证明,另一个方向不好证明,考试的时候要注意两个方向都尝试一下,把容易的写出来,这样可以拿近一半的分数.)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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