题目

【急】已知正方形面积公式,论证圆的面积公式s=派r^2 (与微积分有关）

提问时间：2020-11-23

答案

具体做法如下：
不妨假设该圆圆心在原点,动点P（x,y）到原点的距离为定值R,我们知道 动点P点的轨迹必然为一个半径为R的圆.下面我们来求该圆的面积.
把P（x,y）换成极坐标：
设x=Rcost y=Rsint
由于圆心在圆内部,则参数t∈（0,2π）
根据对曲线的积分公式：
A=1/2[∫xdy+ydx ]
=1/2[∫RcostdRsint - RsintdRcost]
=1/2[∫R^2 cost^2dt+R^2sint^2dt]
=1/2R^2∫1dt
=1/2R^2 t
再利用上限2π的函数值减去下限0的函数值
即可的得到：
A=πR^2
于是可知：半径为R的圆面积一定是πR^2
证毕.