题目

如图，以△ABC三边为边在BC同侧作三个等边△ABD、△BCE、△ACF．
请回答下列问题：

（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形．

提问时间：2020-11-23

答案

证明：（1）∵等边△ABD、△BCE、△ACF，
∴DB=AB，BE=BC．
又∠DBE=60°-∠EBA，
∠ABC=60°-∠EBA，
∴∠DBE=∠ABC．
∴△DBE≌△CBA．
∴DE=AC．
又∵AC=AF，
∴AF=DE．
同理可证：△ABC≌△FCE，证得EF=AD．
∴四边形ADEF是平行四边形．
（2）假设四边形ABCD是矩形，
∵四边形ADEF是矩形，
∴∠DAF=90°．
又∵等边△ABD、△BCE、△ACF，
∴∠DAB=∠FAC=60°．
∴∠BAC=360-∠DAF-∠FAC-∠DAB=150°．
当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．