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题目
在区间[
1
2
,2]上,函数f(x)=x2+bx+c(b、c∈R)与g(x)=
x2+x+1
x
在同一点取得相同的最小值,那么f(x)在区间[
1
2
,2]上的最大值是(  )
A.
13
4

B. 4
C. 8
D.
5
4

提问时间:2020-11-22

答案
g(x)=
x2+x+1
x
=x+
1
x
+1≥3,当且仅当x=1时,等号成立,
∴函数f(x)=x2+bx+c的顶点坐标为(1,3),
x=−
b
2
=1
1+b+c=3
,求得b=-2,c=4,
∴f(x)=x2-2x+4,
∴f(x)max=f(2)=4,
故选B.
先利用基本不等式求得g(x)图象的最低点坐标,根据二次函数的性质求得b和c,最后根据x的范围求得f(x)的最大值.

二次函数的性质.

本题主要考查了二次函数的性质,基本不等式的应用.考查了学生对二次函数图象的理解和灵活运用.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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