题目

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=S_n+（n+1）（n∈N^*），其中S_n为{a_n}的前n项和，
（1）用a_n表示a_n+1；
（2）证明数列{a_n+1}是等比数列；
（3）求a_n和S_n．

提问时间：2020-11-20

答案

（1）由a_n+1=S_n+（n+1）①
得出n≥2时
 a_n=S_n-1+n ②
①-②得出
a_n+1-a_n=a_n+1
整理a_n+1=2a_n+1．（n≥2）
由在①中令n=1得出a₂=a₁+2=3，满足a₂=2a₁+1
所以a_n+1=2a_n+1．（n≥1）
 （2）在a_n+1=2a_n+1两边同时加上1得出
a_n+1+1=2（a_n+1）
根据等比数列的定义，得出数列{a_n+1}是以2为公比的等比数列
（3）由（2）数列{a_n+1} 的通项公式为a_n+1=2•2 ^n-1=2ⁿ
所以a_n=2ⁿ-1，
S_n=（2¹-1）+（2²-1）+…（2ⁿ-1）
=

2(1−2n)

1−2

-n
=2 ⁿ⁺¹-2-n．