题目

已知正方形ABCD,P为对角线BD上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于E,PF⊥CD于F 求证：（1）EF=AP （2）EF⊥AP

提问时间：2020-11-20

答案

（1）连结PC,AC,
∵在正方形ABCD中,PE⊥BC,PF⊥CD,
∴四边形PECF是矩形,
其对角线EF=PC；
在正方形ABCD中,对角线BD与AC互相垂直平分,
∴BD是AC的垂直平分线,
又点P是BD上的一点,
∴由垂直平分线性质可知,PA=PC,
∴PA=EF；
（2）延长FP交AD于点G,延长EP交AB于点H,延长FE交AD的延长线于点M,延长AP交EF于点Q,
易知,四边形BFPH,四边形DGPE都是正方形,
∴四边形AHPG与四边形PECF是全等矩形,
∴∠PAG=∠EPF,
又∠AMF=∠EFC,（内错角相等）,
∴∠PAG+∠AMF=∠EPF+∠EFC=90º,
∴在△AQM中,∠MAQ+∠AMQ=90º,
∠AQM=90º,即AP⊥EF.