题目

过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

＝1的左焦点作直线交椭圆于A、B两点，若存在直线使坐标原点O恰好在以AB为直径的圆上，则椭圆的离心率取值范围是（　　）
A. (0，

3

2

]
B. [

3

2

，1)
C. (0，

5 −1

2

]
D. [

5 −1

2

，1)

提问时间：2020-11-20

答案

设l：x=-c+my代入椭圆方程得：

(-c+my)2

a2

+

y2

b2

=1，
整理得：（b²m²+a²）y²-2mcb²y-b⁴=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁，y₂为上述方程的两个根，
∴y₁+y₂=

2mcb2

b2m2+a2

，y₁y₂=-

b4

b2m2+a2

，①
∵OA⊥OB，
∴（-c+my₁）（-c+my₂）+y₁y₂=0．
∴c²-mc（y₁+y₂）+（m²+1）y₁y₂=0，将①代入，整理得：
a²c²-（c²b²+b⁴）m²-b⁴=0，
∴（c²b²+b⁴）m²=a²c²-b⁴≥0，
∴a²c²≥（a²-c²）²，又e=

c

a

，
∴e⁴-3e²+1≤0，
∴

3- 5

2

≤e²≤

3+ 5

2

，而0<e<1，
∴

3- 5

2

≤e²<1，
∴

5 -1

2

≤e<1．
故选D．

设l：x=-c+my代入椭圆方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁，y₂为整理后的方程的两个根，利用韦达定理结合OA⊥OB，可得到a，b，c之间的关系式，从而可求得椭圆的离心率取值范围．

本题考点：椭圆的简单性质．

考点点评：本题考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，突出考查韦达定理的作用，考查垂直关系的应用，考查抽象思维与综合运算能力，属于难题．