题目

设集合A={（x，y）|y²=x+1}，集合B={（x，y）|4x²+2x-2y+5=0}，集合C={（x，y）|y=kx+b}，问是否存在自然数k，b，使（A∪B）∩C=∅？证明你的结论．

提问时间：2021-03-19

答案

∵（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C）=φ，
∴A∩C=φ且B∩C=φ，即方程组

y2＝x+1 y＝kx+b

⇒k2x2+(2kb−1)x+b2-1=0…①无解．
当k=0时，方程①有解x=b²-1，与题意不符，
∴k≠0，①无解⇒△₁=（2kb-1）²-4k²（b²-1）＜0⇒b＞

4k2+1

4k

，
∵k∈N，∴b＞1．
由方程组

4x2+2x−2y+5＝0 y＝kx+b

⇒4x2+2（1-k）x+5-2b=0…②无解，即

△2＝4(1−k)2−16(5−2b)＜0 ⇒b＜ 20−(k−1)2 8 ≤ 20 8

∴要①、②同时无解，则1＜b≤

20

8

，但b∈N
∴b=2，从而可得k=1．
∴存在自然数k=1，b=2，使（A∪B）∩C=φ．

将（A∪B）∩C转化为（A∩C）∪（B∩C）=φ，即有A∩C=φ且B∩C=φ．转化成对应的方程组无解的条件．

本题考点：集合关系中的参数取值问题．

考点点评：本题考查集合间的基本关系及运算．方程解的情况判断．本题转化成对应的方程组无解的条件是关键．