题目

已知函数f(x)对任意的x,y∈R.总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x＞0时,f(x)＜0,f(-1)=2 （1）求证；f(x)是奇函数.（2）求证；f(x)在R上是减函数.（3）求函数f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值.

提问时间：2020-11-20

答案

1)f(x)+f(y)=f(x+y)中取x=y=0
得f(0)=0
再在f(x)+f(y)=f(x+y)中取y=-x,x∈R
得,f(x)+f(-x)=f(0)=0,
故 f(x)是奇函数 ;
2)任取x1,x2∈R,且x10
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0
所以f(x)在R上是减函数；
3)f(-2)=f(-1)+f(-1)=4,
f(-3)=f(-1)+f(-2)=6,
f(3)=-f(3)=-6,
又f(x)在R上是减函数,
所以最大值为6,最小值为-6.