题目

三角形ABC是边长为a的正三角形,D是三角形外一点,且有角ADB=角ADC=60度,求证：DA^2+DB^2+DC^2=2a^2

提问时间：2020-11-19

答案

在DA上截取DH=DB,易知三角形BDH是正三角形,
所以BH=BD,又BC=BA,易证角ABH=角DBC,
所以三角形BDC全等于三角形ABH,
所以DC=AH,AD=AH+DH=DC+DB.
因为DA^2+DB^2+DC^2
=DA^2+（DB+DC）^2-2DBDC
=2DA^2-2DBDC
=2（DA^2-DBDC）
再作BK垂直AD
在直角三角形BDK中,DK=0.5BD.
在直角三角形ABK中,
因为a^2=BK^2 +AK^2
=BK^2 +（AD-DK）^2
=BK^2 +AD^2 -2ADDK+DK^2
=BD^2+ AD^2 -2AD*0.5BD
=BD^2+ AD^2 -ADBD
=BD^2+ AD^2 -（BD+CD）BD
=BD^2+ AD^2 -BD^2-DBDC
=DA^2 -DBDC
所以DA^2+DB^2+DC^2=2a^2.