题目

已知集合P=｛-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5｝,它的所有非空子集记作Pk（k为整数,1≤k≤2047）,每一个Pk中所有元素的乘积记作pk（k为整数,1≤k≤2047）,则所有pk之和p1+p2+p3+……+p2047的值为（）答案是-1,记P中元素为a1,a2.a11,则p1+p2+...p2047=(1+a1)(1+a2)...(1+a11)-1=-1

提问时间：2020-11-18

答案

这是由规律进而求出通项的解法.
举例说明,当集合P里只有-5和-4这两项时,P={-5,-4},它的所有子集共有2^2=4个,非空子集一共有3个,分别是{-5},{-4},{-5,-4},那么p1+p2+p3=（-5）+（-4）+（-5）*（-4）=11=[1+(-4)]*[1+(-5)]-1
因为通过观察发现（1+a）（1+b）的展开式里一共四项,分别是a和b的本身,ab,和1,而a、b、ab这三项正是我们所需要的.以此类推当集合P=｛-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}时,一共11个元素,分别设为a1,a2.a11,那么集合P一共有2048个子集,2047个非空子集.
再由上面的观察发现 (1+a1)(1+a2)...(1+a11)展开正好有2048项,除了常数项1是我们不需要的外其他都恰好是我们所需要的,因此只需算出(1+a1)(1+a2)...(1+a11)的值再减去1即可.
故p1+p2+...p2047=(1+a1)(1+a2)...(1+a11)-1=-1