题目

1.若实数a、b、c满足a²+b²+c²+4≤ab+3b+2c,则200a+900b+8c=（）
2.已知等腰△ABC的三边长满足方程x²-11x+30=0,在三角形ABC所载平面内找一点P,使得点P到三个顶点A、B、C的距离之和最小,则这个最小值是（）或（）或（）或（）.
3.若方程组mx+2my=5,nx-2ny=7的解为x=a,y=b,则一次函数y=5/2m-1/2x-7/2n的图像的交点为（）,mn=（）.
4.已知x²+x-6是多项式2x^4+x^3-ax²+bx+a+b-1的因式,则a=（）,b=（）
5.已知ax²+bx+c是一个完全平方式(a,c,c是常数),则b²-4ac=（）
6.已知m,n是不相等的实数,方程x²+mx+n=0的两根差与方程y²+ny+m=0的两根差相等,则m+n=（）
7.The number of integer solutions for the system of inequalities x-2a＞0,6-3x≥0about x is just 4,then the range of value for real number a is （）
A -4＜a≤-2 B -4≤a＜-2 C -1＜a≤-0.5 D 、1≤a＜-0.5
（integer solutions 整数解 ；system of inequalities 不等式组；the range of 取值范围）

提问时间：2020-11-18

答案

由a²+b²+c²+4≤ab+3b+2c 得：
2(a²+b²+c²+4)-2(ab+3b+2c)=a²+b²+a²+b²+2c²+8-2ab-6b-4c
=a²-2ab+b²+a²-2a+1+2a-2b+(b²-4b+4)+2(c²-2c+1)+1
=(a-b)²+(a-1)²+2(a-b)+(b-2)²+2(c-1)²+1
=(a-b+1)²+(a-1)²+(b-2)²+2(c-1)²≤0
故a-b+1=a-1=b-2=c-1=0；a=1;b=2;c=1,则200a+900b+8c=2008
满足要求的点为费马点；又方程x²-11x+30=0的解为：x1=5；x2=6；
等腰△ABC的三边长为：5、5、6；或5、6、6；或5、5、5；或6、6、6 .
(1)△ABC的三边长为5、5、6时：点P到三个顶点A、B、C的距离之和最小为4+3√3；
(2)△ABC的三边长为5、6、6时：点P到三个顶点A、B、C的距离之和最小为√199/2+5√3/2；
(3)△ABC的三边长为5、5、6时：点P到三个顶点A、B、C的距离之和最小为5√3；
(4)△ABC的三边长为6、6、6时：点P到三个顶点A、B、C的距离之和最小为6√3.
m=5/(a+2b)；n=7/(a-2b)；y=5/(2m)-x/2=x/2-7/(2n) x=a；y=b
即：交点为（a,b）,mn=35/(a²-4b²)
2x^4+x^3-ax²+bx+a+b-1=2x²(x²+x-6)-x(x²+x-6)+(13-a)x²+(b-6)x+a+b-1
x²+x-6是2x^4+x^3-ax²+bx+a+b-1的因子,则x²+x-6也是(13-a)x²+(b-6)x+a+b-1的因子
则13-a=b-6=(a+b-1)/(-6)；a=16；b=3
ax²+bx+c=[√ax+b/(2√a)]²+c-b²/(4a) 是一个完全平方式(a,b,c是常数),
则c-b²/(4a)=0,即b²-4ac=0
设x1,x2方程x²+mx+n=0的两根；x3,x4是方程y²+ny+m=0的两根.
则：x1+x2=-m,x1x2=n；则(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=m²-4n；
x3+x4=-n,x3x4=m；则(x3-x4)²=(x3+x4)²-4x3x4=n²-4m；
由方程x²+mx+n=0的两根差与方程y²+ny+m=0的两根差相等
知：(x1-x2)²=(x3-x4)²=m²-4n=n²-4m 整理得：(m+n)(m-n)=-4(m-n)
又m,n是不相等的实数,则m-n≠0；故m+n=-4
∵x-2a＞0；且6-3x≥0 ；∴2a