题目

圆的半径是3,圆心C在直线2x+y=0上且在x轴的下方,x轴被圆截的弦长2倍根号5
我已经算出圆的方程为（x-1)^2+(y+2)^2=9,问是否存在斜率为1的直线L,使得圆C截L的弦AB为直径的圆过原点?

提问时间：2020-11-18

答案

设圆心坐标为C(x0,y0)
x轴被圆截的弦长2倍根号5时的坐标为C(x1,0),D(x2,0)
此时圆的方程为 (x-x0)^2+(y-y0)^2=9
当它截X轴时,y=0,x0
∴ (x-x0)^2+(0-y0)^2=9 ①
又 2x0+y0=0 ②
由②得 y0=-2x0 代入 ①
得 (x-x0)^2+(-2x-)^2=9
化简,得 x^2-2xx0+5x0^2-9=0
∴ x1+x2=2x0 x1*x2=5x0^2-9
又 弦CD=2√5
即(x1-x2)^2=(2√5)^2
可化成 (x1+x2)^2-4x1x2=20
则 (2x0)^2-4(5x0^2-9)=20
化简,得 x0^2=1
∴ x0=1 或 x0=-1
此时 y0=-2 或 y0=2
∵圆心在x轴的下方
∴ y0