题目

已知函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0,b∈R,
f(x)=ax2+bx+c(a＞0,b∈R,c∈R)
（1）若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=f(x)x＞0,-f(x)x＜0,求F(2)+F（-2）的值
（2）若a=1,c=0,且绝对值f(x)≤1在区间（0,1】恒成立,试求b取值范围

提问时间：2020-11-17

答案

本题是导数的综合运用问题,估计应该属于中高档题.
1、求导,有f'(x)=(x^3－3x^2－9x＋t＋3)e^x,故函数f(x)有三个极值点,即方程x^3－3x^2－9x＋t＋3=0有三个根,再设g(x)=x^3－3x^2－9x＋t＋3,即函数g(x)与x轴要有三个交点,也即函数g(x)的极大值要大于0,且其极小值要小于0.再对g(x)求导可知,g(x)的极大值为g(－1),g(x)的极小值为g(3).第二小问,a、b、c是方程x^3－3x^2－9x＋t＋3=0的三个根,即x^3－3x^2－9x＋t＋3=(x－a)(x－b)(x－c),再利用对应项系数相等,是否可以得到t关于a、b、c中某个字母的表达式,建立t与之的函数式,比如得到t=h(a),估计要确定下a的取值范围.
2、由于x∈[1,m],则x>0,所以f(x)≤x等价于[f(x)/x]≤1,即函数f(x)/x在区间[1,m]上的最大值小于等于1,这个最大值中肯定含有字母m、t,转而将此看成是关于t的表达式,即此表达式在t∈[0,2]上有解问题来研究.
由于计算和打字比较复杂,思路分析如上,你自己去试下,我想应该没问题了.
（1）
f(-1)=0,且c=1
a-b+1=0
a=b-1
当x=-1时取道最小值
-b/(2a)=-1
b=2a
得到：a=1,b=2
f(x)=x^2+2x+1
F(x)=x^2+2x+1 (x>0)
F(x)=-x^2-2x-1 （x