题目
直线过点P（3/4,2)且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线满足下列条件：三角形AOB的周长为12?
提问时间：2020-11-17
答案
设过点P（3/4,2)的直线方程为：y-2=k(x-3/4)
易证三角形最短周长出现在k=-1的时候,
这时,三角形两直角边长都是11/4,斜边长是(11/4)(√2)
三角形周长为
11/4+11/4+(11/4)(√2) =11/2+(11/4)(√2)
因为
12-［11/2+(11/4)(√2)］=13/2-(11√2)/4
=(26-11√2)/4>0
即三角形AOB的最小周长小于12,
所以这样的直线存在.
易证三角形最短周长出现在k=-1的时候,
这时,三角形两直角边长都是11/4,斜边长是(11/4)(√2)
三角形周长为
11/4+11/4+(11/4)(√2) =11/2+(11/4)(√2)
因为
12-［11/2+(11/4)(√2)］=13/2-(11√2)/4
=(26-11√2)/4>0
即三角形AOB的最小周长小于12,
所以这样的直线存在.
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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