题目

边长为a的正三角形ABC,A,B分别在直角坐标系的x轴,y轴的正半轴上滑动,点C在第一象限,求OC长的最大值.
能否将余弦定理推证一下，若能推证再送50分。

提问时间：2020-11-17

答案

设A、B分别为（x,0),(0,y)
则有：OA=x ； OB=y ； x^2+y^2=a^2
由图象可知：sinOAB=y/a
cosOAB=x/a
OAC=OAB+60
由余弦定理可知：OC^2=OA^2+AC^2-2OA*AC*cosOAC
则有：OC^2=x^2+a^2-2axcos(OAB+60)
=x^2+a^2-2ax(cosOABcos60-sinOABsin60)
=x^2+a^2-2ax(1/2cosOAB-根号3/2sinOAB)
=x^2+a^2-2ax(x/2a-根号3y/2a)
=x^2+a^2-x^2+根号3xy
=a^2+根号3xy
a为定值,a^2为定值,所以当xy最大时,OC^2取得最大值,即OC取得最大值
又 x^2+y^2=a^2,由均值不等式可知：x^2+y^2>=2xy,当且仅当x=y时取等号
所以：xy