题目
已知数列an相邻两项an,an+1是方程X^2-(2^n)*X+bn=0的两实根,a1=1.求证数列an-(1/3)*(2^n)是等比数列,并求an的通项公式
提问时间:2020-11-16
答案
an,a(n+1)是方程X^2-(2^n)*X+bn=0的两实根,所以,an+a(n+1)=2^n.
所以,a(n+1)=2^n - an = 2^n - [ 2^(n-1) - a(n-1) ] = 2^n - 2^(n-1) + a(n-1) = 2^(n-1) + a(n-1).
a1=1,a2=2^1-a1=1,以下分奇偶数讨论.
1.当n=2k,为偶数时,
a(2k)=2^(2k-2) + a(2k-2) = 2^(2k-2) + 2^(2k-4) + a(2k-4) = .
= 2^(2k-2) + 2^(2k-4) +.+2^(2) + a2 = 2^(2k-2) + 2^(2k-4) +.+2^2 + 2^0
= Σ_(i=1) ^(k) 2^(2i-2) = Σ_(i=1) ^(k) 4^(i-1) = 1*(1-4^k) / (1-4) = (4^k - 1) /3
= [2^(2k) - 1] /3 = (2^n - 1) /3
2.当n=2k+1,为奇数时,
a(2k+1)=2^(2k-1) + a(2k-1) = 2^(2k-1) + 2^(2k-3) + a(2k-3) = .
= 2^(2k-1) + 2^(2k-3) +.+2^(1) + a1 = 2^(2k-1) + 2^(2k-3) +.+2^1 + 1
= 1+Σ_(i=1) ^(k) 2^(2i-1) =1 + 2*(1-4^k) / (1-4) =1+ 2 (4^k - 1) /3
= [2^(2k+1) + 1] /3 = (2^n + 1) /3
所以,an -(1/3)*(2^n) = 1/3 当n为奇数时,
= -1/3 当n为偶数时,
是公比为-1 的等比数列.
而an的通项公式为 an = (2^n + 1) /3 当n为奇数时,
= (2^n - 1) /3 当n为偶数时.
所以,a(n+1)=2^n - an = 2^n - [ 2^(n-1) - a(n-1) ] = 2^n - 2^(n-1) + a(n-1) = 2^(n-1) + a(n-1).
a1=1,a2=2^1-a1=1,以下分奇偶数讨论.
1.当n=2k,为偶数时,
a(2k)=2^(2k-2) + a(2k-2) = 2^(2k-2) + 2^(2k-4) + a(2k-4) = .
= 2^(2k-2) + 2^(2k-4) +.+2^(2) + a2 = 2^(2k-2) + 2^(2k-4) +.+2^2 + 2^0
= Σ_(i=1) ^(k) 2^(2i-2) = Σ_(i=1) ^(k) 4^(i-1) = 1*(1-4^k) / (1-4) = (4^k - 1) /3
= [2^(2k) - 1] /3 = (2^n - 1) /3
2.当n=2k+1,为奇数时,
a(2k+1)=2^(2k-1) + a(2k-1) = 2^(2k-1) + 2^(2k-3) + a(2k-3) = .
= 2^(2k-1) + 2^(2k-3) +.+2^(1) + a1 = 2^(2k-1) + 2^(2k-3) +.+2^1 + 1
= 1+Σ_(i=1) ^(k) 2^(2i-1) =1 + 2*(1-4^k) / (1-4) =1+ 2 (4^k - 1) /3
= [2^(2k+1) + 1] /3 = (2^n + 1) /3
所以,an -(1/3)*(2^n) = 1/3 当n为奇数时,
= -1/3 当n为偶数时,
是公比为-1 的等比数列.
而an的通项公式为 an = (2^n + 1) /3 当n为奇数时,
= (2^n - 1) /3 当n为偶数时.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
- 1手拉手活动450字作文
- 2求一道函数分式函数的值域,..
- 3工程队修一条路,第一天修全程的2/5,第二天又修了余下的1/3,还剩240千米,这条路共有多长?
- 4观察 水的沸腾现象 的实验时,所给器材有(如下)
- 5if your friend said ______about you,you would say nothing.中是填something bad还是anything good?要说明理由啊,
- 6三个连续自然数,中间的一个是n,其余两个分别是( )和( )
- 7若1/3+1/15+1/35+省略号+(2n-1)乘(2n+1)分之1的值为17/35,求n的值
- 8尊师重教的格言.
- 9抄完一份稿件,甲单独要4小时,乙单独要5小时,甲乙合抄要几小时抄完1/2、
- 10125立方厘米等于多少立方米?用科学技术法表示谢谢了,
热门考点
- 1做俯卧撑运动是费力杠杆还是省力杠杆?
- 2英语翻译
- 3一辆出租车与一辆中巴分别从甲乙两地同时出发,经过5分之2小时在离中点5km处相遇,这时出租车已行全程的
- 4已知盐酸加到品红溶液中,能使品红溶液的红色加深.试推测: (1)向品红溶液中通过量SO2的过程中的现象为 _ ;加热后的现象为 _ . (2)向品红溶液中通入过量Cl2的过程中,观察到的现
- 54x+3y=14 1.若方程组﹛ 的解中x与y的值相等,求k的值. kx+(k-1)y=6
- 6请将以下一些词语串成一段描述古代印度文明的文字
- 7仿写句子:生活是一杯酒,包含着人生的算甜苦辣.
- 8在一张长8cm,宽12cm的长方形纸上画一个最大的圆,这个圆的直径是( ),面积是( ),周长是( )
- 9求"一个加油站","根据"用英语怎么说?以及"get a haircut"用中文怎么说,还有"comfortable"的比较级
- 10你真厉害呀为开头写一段含有批评意思的话