题目

当A是n阶矩阵,r(A)=n-1,证明r(A*)=1

提问时间：2020-11-16

答案

问题可以这样看,设n阶阵A=(a_ij)的秩是n-1,A*=(A_ji)是伴随矩阵,其中A_ij是i行j列的代数余子式,下面要证明AA*=0.利用Laplace展开来看
这里说明AA*的对角元全部等于0.另外要说明如果i=/=j
这是因为上式可以看成一个行列式的Laplace展开,它是把矩阵A的第j行换成第i行,那么这个新的矩阵有两行是相同的,因此行列式必定等于0.这论证的上式.这两条式子表明AA*=0
于是利用n-1+rank(A*)=rank(A)+rank(A*)