题目

对于定义在集合D上的函数y=f（x），若f（x）在D上具有单调性，且存在区间[a，b]⊆D，使当x∈[a，b]时，f（x）的值域是[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数，区间[a，b]称为f（x）的“等域区间”．已知函数f（x）=

x

是[0，+∞）上的正函数，则f（x）的等域区间为 ___ ．

提问时间：2020-11-16

答案

因为f（x）=

x

在[0，+∞）上是增函数，
所以当x∈[a，b]，f（x）的值域是[f（a），f（b）]，
又f（x）=

x

是[0，+∞）上的正函数，
∴

f(a)=a f(b)=b b>a≥0

，即

a =a b =b b>a≥0

，
解得a=0，b=1，
∴f（x）的等域区间为[0，1]．
故答案为：[0，1]．

因为f（x）=

x

在[0，+∞）上是增函数，所以当x∈[a，b]，f（x）的值域是[f（a），f（b）]，由此能求出f（x）的等域区间．

本题考点：["函数单调性的性质"]

考点点评：本题考查函数恒成立的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，有一定难度，是高考的重点．