题目

已知两点P(-1,4),Q(3,1)和直线l,(1)若P,Q到l的距离都等于3求直线l的方程
（2）若P,Q到l的距离都等于2,求直线l的方程（3）若P,Q到l的距离都等于m,这样的直线有几条?

提问时间：2020-11-15

答案

首先求PQ距离=√[(-1-3)²+(4-1)²]=5,PQ的方程可求得：3x+4y-13=0
(1)∵P,Q到l的距离之和等于6＞5
∴直线l不可能位于P,Q之间,且只有可能平行于PQ
∴d=│-13-C│/√(3²+4²)=│13+C│/5=3
∴C=2或-28
∴直线方程为3x+4y+2=0或3x+4y-28=0
(2)∵P,Q到l的距离之和等于4＜5
∴直线可能在P,Q之间,也可能平行于PQ
①直线l平行于PQ,
d=│-13-C│/√(3²+4²)=│13+C│/5=2
∴C=-3或-23
∴直线方程为3x+4y-3=0或3x+4y-23=0
②直线在P,Q之间,
∵P,Q到l的距离都等于2
∴P,Q中点(1,5/2)在直线l上
发现P,Q到直线x=1的距离正好等于2
综上可知：直线l的方程：3x+4y-3=0或3x+4y-23=0或x=1
(3)当2m＞5,即m＞5/2时,直线l只有可能平行于PQ,有两种可能
当2m=5时,直线l可能为PQ垂直平分线,也可能为PQ平行线
当m=2时.直线l可能为x=1或PQ平行线
当0＜2m＜5,且m≠2时,直线l过PQ中点（两种可能,因为可以关于x=1对称）或平行于PQ
综上可知：当m=5/2或2时,直线l有3条
当m＞5/2时,直线l有2条
当0＜m＜2或2＜m＜5/2时,直线l有4条