题目

小学分数问题,行程问题知识要点

提问时间：2020-11-13

答案

1、和差问题,已知两个数的和及这两个数的差,求这两个数.
（和+差）÷2=大数,（和-差）÷2=小数.
2、和倍问题,已知两个数的和及这两个数的倍数关系,求这两个数.
和÷（倍数+1）=1倍数（或小数）,小数×倍数=大数,和-小数=大数.
3、差倍问题,已知两个数的差及这两个数的倍数关系,求这两个数.
差÷（倍数-1）=小数,小数+差=大数.
4、过桥问题,从车头上桥,到车尾离开桥,求所用的时间.
路程=桥长+列车长度.
5、流水问题,求船在流水中航行的时间.
船速+水速=顺流速度,船速-水速=逆流速度.
9、年龄问题,求两人的年龄.
大人年龄-小孩年龄=年龄差.
11、时钟问题,求时针和分针重合、成直线或直角的时间.
两针重合时间=两针间隔格数÷11/12.
两针成直线时间=（两针间隔格数±30）÷11/12.
两针成直角时间=（两针间隔格数±15或45）÷11/12.
12、归一问题,先求出单一数量,再求出其他数量.
13、归总问题,先求出总数量,再求出其他数量.
14、时间差问题,计算几月几日到几月几日的时间差.
先计算首月和尾月,再计算中间几个月.
15、预测星期几问题,已知今天是星期几,计算经过多少天是星期几.
用经过的天数除以7,求出剩余的天数,再计算是星期几.



4、【平均数问题公式】
　　总数量÷总份数=平均数.

5、【一般行程问题公式】
平均速度×时间=路程；
路程÷时间=平均速度；
路程÷平均速度=时间.

6、【反向行程问题公式】反向行程问题可以分为“相遇问题”（二人从两地出发,相向而行）和“相离问题”（两人背向而行）两种.这两种题,都可用下面的公式
（速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程；
相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）时间；
相遇（离）路程÷相遇（离）时间=速度和.
　　
7、【同向行程问题公式】
追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉开）时间；
追及（拉开）路程÷追及（拉开）时间=速度差；
（速度差）×追及（拉开）时间=追及（拉开）路程.

8、【列车过桥问题公式】
（桥长+列车长）÷速度=过桥时间；
（桥长+列车长）÷过桥时间=速度；
速度×过桥时间=桥、车长度之和.

9、【行船问题公式】
（1）一般公式：
静水速度（船速）+水流速度（水速）=顺水速度；
船速-水速=逆水速度；
（顺水速度+逆水速度）÷2=船速；
（顺水速度-逆水速度）÷2=水速.

（2）两船相向航行的公式：
甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度
（3）两船同向航行的公式：
后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度.
　　（求出两船距离缩小或拉大速度后,再按上面有关的公式去解答题目）.

10、【工程问题公式】
（1）一般公式：
工效×工时=工作总量；
工作总量÷工时=工效；
工作总量÷工效=工时.

（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：
1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几；
1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间.
（注意：用假设法解工程题,可任意假定工作总量为2、3、4、5…….特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时,分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题,计算将变得比较简便.）

11、【盈亏问题公式】
盈亏问题,求分配的人数.
剩余物品的个数差÷分配方法的个数差=分配的人数

（1）一次有余（盈）,一次不够（亏）,可用公式：
（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数.
例如,“小朋友分桃子,每人10个少9个,每人8个多7个.问：有多少个小朋友和多少个桃子?”
解（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（个）………………人数
10×8-9=80-9=71（个）………………………桃子
或8×8+7=64+7=71（个）（答略）

（2）两次都有余（盈）,可用公式：
（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数.
例如,“士兵背子弹作行军训练,每人背45发,多680发；若每人背50发,则还多200发.问：有士兵多少人?有子弹多少发?”
解（680-200）÷（50-45）=480÷5=96（人）
45×96+680=5000（发）或50×96+200=5000（发）（答略）

（3）两次都不够（亏）,可用公式：
（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数.
例如,“将一批本子发给学生,每人发10本,差90本；若每人发8本,则仍差8本.有多少学生和多少本本子?”
解（90-8）÷（10-8）=82÷2=41（人）
10×41-90=320（本）（答略）

（4）一次不够（亏）,另一次刚好分完,可用公式：
亏÷（两次每人分配数的差）=人数.（例略）

（5）一次有余（盈）,另一次刚好分完,可用公式：
盈÷（两次每人分配数的差）=人数.
（例略）

12、【鸡兔问题公式】
鸡兔问题,已知鸡兔的总头数和总腿数,求鸡兔只数.
兔子只数=（总腿数-总头数×2）÷2,
鸡的只数=（总头数×4-总腿数）÷2.

（1）已知鸡兔的总头数和总脚数,求鸡、兔各多少只：
兔子只数=（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）；
鸡的只数=总头数-兔数
或者是
鸡的只数=（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）
兔子只数=总头数-鸡数

例如,“有鸡、兔共36只,它们共有脚100只,鸡、兔各是多少只?”
解一
（100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔；
36-14=22（只）……………………………鸡.
解二
（4×36-100）÷（4-2）=22（只）………鸡；
36-22=14（只）…………………………兔.（答略）

（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数,当鸡的总脚数比兔的总脚数多时,可用公式
（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数
或
（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数.（例略）

（3）已知总数与鸡兔脚数的差数,当兔的总脚数比鸡的总脚数多时,可用公式.
（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数.
或
（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数.（例略）

（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法,可以用下面的公式：
（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数.
或者是
总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数.
例如,
“灯泡厂生产灯泡的工人,按得分的多少给工资.每生产一个合格品记4分,每生产一个不合格品不仅不记分,还要扣除15分.某工人生产了1000只灯泡,共得3525分,问其中有多少个灯泡不合格?”
解一 （4×1000-3525）÷（4+15）=475÷19=25（个）
解二 1000-（15×1000+3525）÷（4+15）＝1000-18525÷19=1000-975=25（个）（答略）
（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”,运到完好无损者每只给运费××元,破损者不仅不给运费,还需要赔成本××元…….它的解法显然可套用上述公式.）

（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数,求鸡兔各多少的问题）,可用下面的公式：
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数；
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数.
例如,
“有一些鸡和兔,共有脚44只,若将鸡数与兔数互换,则共有脚52只.鸡兔各是多少只?”
解〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕÷2=20÷2=10（只）……………………………鸡
〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕÷2=12÷2=6（只）…………………………兔（答略）

13、【植树问题公式】
　　线上植树问题,求植树的株数.
在封闭的线上植树.
路长=株距×株数,株距=路长÷株数,株数=路长÷株距.
在不封闭的线上植树,两端都植树.
路长=株距×（株数-1）,株距=路长÷（株数-1）,株数=路长÷株距+1.
面上植树问题,求植树的株数.
当长方形土地的长、宽分别能被株距、行距整除时.
行距×株距=每株植物的占地面积,土地面积÷每株植物的占地面积=株数.
当长方形土地的长、宽不能被株距、行距整除时.
可以按线上植树问题解题.
（1）不封闭线路的植树问题：
间隔数+1=棵数；（两端植树）
路长÷间隔长+1=棵数.
或
间隔数-1=棵数；（两端不植）
路长÷间隔长-1=棵数；
路长÷间隔数=每个间隔长；
每个间隔长×间隔数=路长.

（2）封闭线路的植树问题：
路长÷间隔数=棵数；
路长÷间隔数=路长÷棵数=每个间隔长；
每个间隔长×间隔数=每个间隔长×棵数=路长.

（3）平面植树问题：
　　占地总面积÷每棵占地面积=棵数

14、【求分率、百分率问题的公式】

比较数÷标准数=比较数的对应分（百分）率；
增长数÷标准数=增长率；
减少数÷标准数=减少率.
或者是
两数差÷较小数=多几（百）分之几（增）；
两数差÷较大数=少几（百）分之几（减）.

15、【增减分（百分）率互求公式】
增长率÷（1+增长率）=减少率；
减少率÷（1-减少率）=增长率.
比甲丘面积少几分之几?”
解这是根据增长率求减少率的应用题.按公式,可解答为百分之几?”
解这是由减少率求增长率的应用题,依据公式,可解答为

16、【求比较数应用题公式】
标准数×分（百分）率=与分率对应的比较数；
标准数×增长率=增长数；
标准数×减少率=减少数；
标准数×（两分率之和）=两个数之和；
标准数×（两分率之差）=两个数之差.

17、【求标准数应用题公式】
比较数÷与比较数对应的分（百分）率=标准数；
增长数÷增长率=标准数；
减少数÷减少率=标准数；
两数和÷两率和=标准数；
两数差÷两率差=标准数；
18、【方阵问题公式】
（1）实心方阵：（外层每边人数）2=总人数.
（2）空心方阵：
（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2=中空方阵的人数.
或者是
（最外层每边人数-层数）×层数×4=中空方阵的人数.
总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数.

例如,有一个3层的中空方阵,最外层有10人,问全阵有多少人?

解一 先看作实心方阵,则总人数有
10×10=100（人）
再算空心部分的方阵人数.从外往里,每进一层,每边人数少2,则进到第四层,每边人数是
10-2×3=4（人）
所以,空心部分方阵人数有
4×4=16（人）
故这个空心方阵的人数是
100-16=84（人）

解二 直接运用公式.根据空心方阵总人数公式得
（10-3）×3×4=84（人）

19、【利率问题公式】利率问题的类型较多,现就常见的单利、复利问题,介绍其计算公式如下.

（1）单利问题：
本金×利率×时期=利息；
本金×（1+利率×时期）=本利和；
本利和÷（1+利率×时期）=本金.
年利率÷12=月利率；
月利率×12=年利率.

（2）复利问题：
本金×（1+利率）存期期数=本利和.

　例如,“某人存款2400元,存期3年,月利率为10．2‰（即月利1分零2毫）,三年到期后,本利和共是多少元?”
解（1）用月利率求.
3年=12月×3=36个月
2400×（1+10．2％×36）=2400×1．3672=3281．28（元）
（2）用年利率求.
先把月利率变成年利率：
10．2‰×12=12．24％
再求本利和：
2400×（1+12．24％×3）=2400×1．3672=3281．28（元）（答略）
　　 （复利率问题例略）