题目

求证(3n+1)X7^n-1能被9整除
RT

提问时间：2020-11-12

答案

这个要用【数学归纳法】来证明...
先令 f(n)=(3n+1)×(7^n)-1
I)当n=1时, f(1)=27,能被9整除
II)假设当n=k时(k∈正整数),f(k)=(3k+1)×(7^k)-1能被9整除.
那么当n=k+1时,
f(k+1)=[3(k+1)+1]×[7^(k+1)]-1
=(3k+4)×7×(7^k)-1
=21k×(7^k)+28×(7^k)-1
=[3k×(7^k)+7^k-1] + [18k×(7^k)+27×(7^k)]
前面的中括号里的项由假设可知能被9整除
后面的中括号里的项显然能被9整除(这个应该很明显吧-_-)
所以f(k+1)能被9整除.
综合I)II)可得(3n+1)×7^n-1能被9整除